Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x) = 2 - \log_{3} (x - 8)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x - 8) = 2$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x - 8)) = 2$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 8) = 2$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot - 8) = 2$

Этап 4.2

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$\log_{3} (x^{2} - 8 x) = 2$

Этап 5

Перепишем $\log_{3} (x^{2} - 8 x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 8 x$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 8 x = 3^{2}$ .

$x^{2} - 8 x = 3^{2}$

Этап 6.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x^{2} - 8 x = 9$

Этап 6.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 8 x - 9 = 0$

Этап 6.4

Разложим $x^{2} - 8 x - 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 9$ , а сумма — $- 8$ .

$- 9, 1$

Этап 6.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 9) (x + 1) = 0$

Этап 6.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 6.6

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 6.6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 6.7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 9) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 9, - 1$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x) = 2 - \log_{3} (x - 8)$ истинным.

$x = 9$