Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x - 5) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x + 1) (x - 5)) = 3$

Этап 1.2

Развернем $(x + 1) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x (x - 5) + 1 (x - 5)) = 3$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (x - 5)) = 3$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5) = 3$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5) = 3$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\log_{3} (x^{2} - 5 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 5) = 3$

Этап 1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\log_{3} (x^{2} - 5 x + x + 1 \cdot - 5) = 3$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\log_{3} (x^{2} - 5 x + x - 5) = 3$

Этап 1.3.2

Добавим $- 5 x$ и $x$ .

$\log_{3} (x^{2} - 4 x - 5) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{3} (x^{2} - 4 x - 5) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{3} = x^{2} - 4 x - 5$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 4 x - 5 = 3^{3}$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 3^{3}$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x^{2} - 4 x - 5 = 27$

Этап 3.3

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 5 - 27 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $27$ из $- 5$ .

$x^{2} - 4 x - 32 = 0$

Этап 3.5

Разложим $x^{2} - 4 x - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $- 4$ .

$- 8, 4$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 8) (x + 4) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 3.8

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 8, - 4$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x - 5) = 3$ истинным.

$x = 8$