Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x - 2) = \log_{3} (x + 6) + 2$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{3} (x - 2) - \log_{3} (x + 6) = 2$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x - 2}{x + 6}) = 2$

Этап 3

Перепишем $\log_{3} (\frac{x - 2}{x + 6}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{x - 2}{x + 6}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x - 2 = 3^{2} (x + 6)$

Этап 5

Упростим $3^{2} (x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x - 2 = 9 (x + 6)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 = 9 x + 9 \cdot 6$

Этап 5.3

Умножим $9$ на $6$ .

$x - 2 = 9 x + 54$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$x - 2 - 9 x = 54$

Этап 6.2

Вычтем $9 x$ из $x$ .

$- 8 x - 2 = 54$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x$ .

$2 (- 4 x) - 2 = 54$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 4 x) + 2 (- 1) = 54$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 4 x) + 2 (- 1)$ .

$2 (- 4 x - 1) = 54$

Этап 8

Разделим каждый член $2 (- 4 x - 1) = 54$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 (- 4 x - 1) = 54$ на $2$ .

$\frac{2 (- 4 x - 1)}{2} = \frac{54}{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 4 x - 1)}{2} = \frac{54}{2}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $- 4 x - 1$ на $1$ .

$- 4 x - 1 = \frac{54}{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $54$ на $2$ .

$- 4 x - 1 = 27$

Этап 9

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x = 27 + 1$

Этап 9.2

Добавим $27$ и $1$ .

$- 4 x = 28$

Этап 10

Разделим каждый член $- 4 x = 28$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $- 4 x = 28$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{28}{- 4}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{28}{- 4}$

Этап 10.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{28}{- 4}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим $28$ на $- 4$ .

$x = - 7$

Этап 11

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x - 2) = \log_{3} (x + 6) + 2$ истинным.

$Нет решения$