Основы мат. анализа Примеры

$\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} (x (x - 3)) = 2$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 3) = 2$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot - 3) = 2$

Этап 1.3.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} - 3 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 3 x = 6^{2}$ .

$x^{2} - 3 x = 6^{2}$

Этап 3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x^{2} - 3 x = 36$

Этап 3.3

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = - 36$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 36)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 36$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Добавим $9$ и $144$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $153$ в виде $3^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $153$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$ истинным.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 7.68465843 \dots$