Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2 \sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 \sqrt{x + 2}}}^{2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 \sqrt{x + 2}}$ в виде ${(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{1} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 \sqrt{x + 2} = {\sqrt{x + 2}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ в виде $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{x + 2} = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \sqrt{x + 2} = {(x + 2)}^{1}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

$2 \sqrt{x + 2} = x + 2$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 2)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 2) = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 2 = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $4$ на $2$ .

$4 x + 8 = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 x + 8 = (x + 2) (x + 2)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 8 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 8 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$4 x + 8 = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 4 x + 4 = 4 x + 8$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x + 4 - 4 x = 8$

Этап 5.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 4 x + 4 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$x^{2} + 0 + 4 = 8$

Этап 5.2.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} + 4 = 8$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = 8 - 4$

Этап 5.3.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$x^{2} = 4$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$