Основы мат. анализа Примеры

$\log_{8} (x + 6) = 1 - \log_{8} (x + 4)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{8} (x + 6) + \log_{8} (x + 4) = 1$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((x + 6) (x + 4)) = 1$

Этап 3

Развернем $(x + 6) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{8} (x (x + 4) + 6 (x + 4)) = 1$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot 4 + 6 (x + 4)) = 1$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{8} (x \cdot x + x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{8} (x^{2} + x \cdot 4 + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Этап 4.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\log_{8} (x^{2} + 4 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 4) = 1$

Этап 4.1.3

Умножим $6$ на $4$ .

$\log_{8} (x^{2} + 4 x + 6 x + 24) = 1$

Этап 4.2

Добавим $4 x$ и $6 x$ .

$\log_{8} (x^{2} + 10 x + 24) = 1$

Этап 5

Перепишем $\log_{8} (x^{2} + 10 x + 24) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$8^{1} = x^{2} + 10 x + 24$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 10 x + 24 = 8^{1}$ .

$x^{2} + 10 x + 24 = 8$

Этап 6.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 10 x + 24 - 8 = 0$

Этап 6.3

Вычтем $8$ из $24$ .

$x^{2} + 10 x + 16 = 0$

Этап 6.4

Разложим $x^{2} + 10 x + 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $16$ , а сумма — $10$ .

$2, 8$

Этап 6.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) (x + 8) = 0$

Этап 6.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 6.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.7

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 6.7.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 6.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 8) = 0$ верно.

$x = - 2, - 8$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{8} (x + 6) = 1 - \log_{8} (x + 4)$ истинным.

$x = - 2$