Основы мат. анализа Примеры

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

Этап 1

Перепишем $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{1}{27}$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{27}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Этап 2.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Этап 2.2.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - \frac{1}{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - \frac{1}{3}$ к $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ к $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $9$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Этап 2.5.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.3

Подставим значения $a = 9$ , $b = 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 36$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 2.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.5.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$