Основы мат. анализа Примеры

$\log_{x} (8) = 0.5$

Этап 1

Перепишем $\log_{x} (8) = 0.5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{0.5} = 8$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем десятичный показатель в дробный показатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Преобразуем десятичное число в дробь, помещая десятичное число над чертой, а под чертой — десять в некоторой степени. Поскольку справа от десятичной запятой $1$ цифра, поместим десятичное число над $10^{1}$ $(10)$ . Затем добавим целую часть числа слева от десятичной дроби.

$x^{0 \frac{5}{10}} = 8$

Этап 2.1.2

Сократим дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Преобразуем $0 \frac{5}{10}$ в неправильную дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Смешанное число представляет собой сумму своих целой и дробной частей.

$x^{0 + \frac{5}{10}} = 8$

Этап 2.1.2.1.2

Добавим $0$ и $\frac{5}{10}$ .

$x^{\frac{5}{10}} = 8$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$x^{\frac{5 (1)}{10}} = 8$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$x^{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}} = 8$

Этап 2.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}} = 8$

Этап 2.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{2}} = 8$

Этап 2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{1}{0.5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Этап 2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{0.5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{0.5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Этап 2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $0.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.2.1

Вынесем множитель $0.5$ из $1$ .

$x^{\frac{0.5 (2)}{2} \cdot \frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Этап 2.3.1.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{0.5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{1}{0.5}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Этап 2.3.1.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{2}{2}} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Этап 2.3.1.1.1.3

Разделим $2$ на $2$ .

$x^{1} = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Этап 2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 8^{\frac{1}{0.5}}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $8^{\frac{1}{0.5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Разделим $1$ на $0.5$ .

$x = 8^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = 64$