Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{18 x - 9} = x + 4$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{18 x - 9}}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{18 x - 9}$ в виде ${(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(18 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(18 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(18 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(18 x - 9)}^{1} = {(x + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$18 x - 9 = {(x + 4)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$18 x - 9 = (x + 4) (x + 4)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 x - 9 = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$18 x - 9 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 x - 9 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$18 x - 9 = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$18 x - 9 = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$18 x - 9 = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$18 x - 9 = x^{2} + 8 x + 16$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 8 x + 16 = 18 x - 9$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $18 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 8 x + 16 - 18 x = - 9$

Этап 3.2.2

Вычтем $18 x$ из $8 x$ .

$x^{2} - 10 x + 16 = - 9$

Этап 3.3

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 10 x + 16 + 9 = 0$

Этап 3.4

Добавим $16$ и $9$ .

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 5^{2} = 0$

Этап 3.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 3.5.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Этап 3.5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.7

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$