Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2} \cos (2 x) + 1 = 0$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$

Этап 2

Разделим каждый член $\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \cos (2 x) = - 1$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \cos (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 6

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 7.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$2 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 7.1.5

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Этап 8

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 8.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$