Основы мат. анализа Примеры

$e^{x} - 9 + 20 e^{- x} = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} - 9 + 20 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u - 9 + 20 u^{- 1} = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 9 + 20 (\frac{1}{u}) = 0$

Этап 3.2

Объединим $20$ и $\frac{1}{u}$ .

$u - 9 + \frac{20}{u} = 0$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 1, u, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.2

Каждый член в $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ на $u$ .

$u \cdot u - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} - 9 u + 20 = 0 u$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим $u^{2} - 9 u + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $- 9$ .

$- 5, - 4$

Этап 4.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 4 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 4.3.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 4.3.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 5) (u - 4) = 0$ верно.

$u = 5, 4$

Этап 5

Подставим $5$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Этап 6

Решим $5 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Этап 6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Этап 6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Этап 6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (5)$

Этап 7

Подставим $4$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Этап 8

Решим $4 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Этап 8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Этап 8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Этап 8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (4)$

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (5), \ln (4)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (5), \ln (4)$

Десятичная форма:

$x = 1.60943791 \dots, 1.38629436 \dots$