Основы мат. анализа Примеры

$e^{2 x} - 4 e^{x} = 5$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(e^{x})}^{2} - 4 e^{x} = 5$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u^{2} - 4 u = 5$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Этап 3.2

Разложим $u^{2} - 4 u - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 3.5

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 5) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 5, - 1$

Этап 4

Подставим $5$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Этап 5

Решим $5 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Этап 5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (5)$

Этап 6

Подставим $- 1$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Этап 7

Решим $- 1 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Этап 7.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 1)$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.4

Нет решения для $e^{x} = - 1$

Нет решения

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (5)$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (5)$

Десятичная форма:

$x = 1.60943791 \dots$