Основы мат. анализа Примеры

$\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

Этап 1

Упростим обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) + 2 (- 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} + 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{(x - 2) (x + 5)}$

Этап 2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$7 ((x - 2) (x + 5)) = (2 - x) (2 (5 - 2 x))$

Этап 3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $7 (x - 2) (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 7 (x - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(7 x + 7 \cdot - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.2.2

Умножим $7$ на $- 2$ .

$(7 x - 14) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.3

Развернем $(7 x - 14) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x (x + 5) - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.4.1.2

Умножим $5$ на $7$ .

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.4.1.3

Умножим $- 14$ на $5$ .

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.1.4.2

Вычтем $14 x$ из $35 x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

Этап 3.2

Упростим $(2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 \cdot 5 + 2 (- 2 x))$

Этап 3.2.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 + 2 (- 2 x))$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 - 4 x)$

Этап 3.2.2

Развернем $(2 - x) (10 - 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 (10 - 4 x) - x (10 - 4 x)$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x (10 - 4 x)$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $2$ на $10$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - x (- 4 x)$

Этап 3.2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x \cdot x$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 (x \cdot x)$

Этап 3.2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x^{2}$

Этап 3.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x + 4 x^{2}$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $10 x$ из $- 8 x$ .

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 18 x + 4 x^{2}$

Этап 3.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $18 x$ к обеим частям уравнения.

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20 + 4 x^{2}$

Этап 3.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x - 4 x^{2} = 20$

Этап 3.3.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20$

Этап 3.3.4

Добавим $21 x$ и $18 x$ .

$3 x^{2} + 39 x - 70 = 20$

Этап 3.4

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 39 x - 70 - 20 = 0$

Этап 3.5

Вычтем $20$ из $- 70$ .

$3 x^{2} + 39 x - 90 = 0$

Этап 3.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 39 x - 90$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 39 x - 90 = 0$

Этап 3.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $39 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (13 x) - 90 = 0$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 90$ .

$3 x^{2} + 3 (13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

Этап 3.6.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (13 x)$ .

$3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

Этап 3.6.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30$ .

$3 (x^{2} + 13 x - 30) = 0$

Этап 3.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Разложим $x^{2} + 13 x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $13$ .

$- 2, 15$

Этап 3.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 2) (x + 15)) = 0$

Этап 3.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 2) (x + 15) = 0$

Этап 3.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 15 = 0$

Этап 3.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.9

Приравняем $x + 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Приравняем $x + 15$ к $0$ .

$x + 15 = 0$

Этап 3.9.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$x = - 15$

Этап 3.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 2) (x + 15) = 0$ верно.

$x = 2, - 15$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$ истинным.

$x = - 15$