Основы мат. анализа Примеры

$5^{x} + 125 (5^{- x}) = 30$

Этап 1

Перепишем $5^{- x}$ в виде степенного выражения.

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} = 30$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $5^{x}$ .

$u + 125 \cdot u^{- 1} = 30$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Этап 3.2

Объединим $125$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{125}{u} = 30$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.2

Каждый член в $u + \frac{125}{u} = 30$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{125}{u} = 30$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{125}{u} u = 30 u$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Этап 4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 125 = 30 u$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $30 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

Этап 4.3.2

Разложим $u^{2} + 125 - 30 u$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $125$ , а сумма — $- 30$ .

$- 25, - 5$

Этап 4.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 25) (u - 5) = 0$

Этап 4.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $u - 25$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $u - 25$ к $0$ .

$u - 25 = 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$u = 25$

Этап 4.3.5

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 4.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 25) (u - 5) = 0$ верно.

$u = 25, 5$

Этап 5

Подставим $25$ вместо $u$ в $u = 5^{x}$ .

$25 = 5^{x}$

Этап 6

Решим $25 = 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $5^{x} = 25$ .

$5^{x} = 25$

Этап 6.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$5^{x} = 5^{2}$

Этап 6.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 7

Подставим $5$ вместо $u$ в $u = 5^{x}$ .

$5 = 5^{x}$

Этап 8

Решим $5 = 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $5^{x} = 5$ .

$5^{x} = 5$

Этап 8.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$5^{x} = 5^{1}$

Этап 8.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = 2, 1$