Основы мат. анализа Примеры

$5^{x + 2} = 7^{x - 2}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (5^{x + 2}) = \ln (7^{x - 2})$

Этап 2

Развернем $\ln (5^{x + 2})$ , вынося $x + 2$ из логарифма.

$(x + 2) \ln (5) = \ln (7^{x - 2})$

Этап 3

Развернем $\ln (7^{x - 2})$ , вынося $x - 2$ из логарифма.

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $(x + 2) \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Этап 4.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = x \ln (7) - 2 \ln (7)$

Этап 4.3

Вычтем $x \ln (7)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7)$

Этап 4.4

Вычтем $2 \ln (5)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5) - x \ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (7)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Этап 4.6

Перепишем $- 1 \ln (7)$ в виде $- \ln (7)$ .

$x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Этап 4.7

Разделим каждый член $x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ на $\ln (5) - \ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Разделим каждый член $x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ на $\ln (5) - \ln (7)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5) - \ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (7)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7)) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (7)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (7) - \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.6.1

Перепишем $- (\ln (7) + \ln (5))$ в виде $- 1 (\ln (7) + \ln (5))$ .

$x = \frac{2 (- 1 (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 4.7.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Десятичная форма:

$x = 21.13308424 \dots$