Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6}{x - 5} + \frac{2}{x + 5} = \frac{84}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{6}{x - 5} + \frac{2}{x + 5} = \frac{84}{x^{2} - 5^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{6}{x - 5} + \frac{2}{x + 5} = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 5, x + 5, (x + 5) (x - 5)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 5, x + 5, x + 5, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 5) (x + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{6}{x - 5} + \frac{2}{x + 5} = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)}$ умножим на $(x - 5) (x + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{6}{x - 5} + \frac{2}{x + 5} = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)}$ на $(x - 5) (x + 5)$ .

$\frac{6}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) + \frac{2}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$6 (x + 5) + \frac{2}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 \cdot 5 + \frac{2}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $6$ на $5$ .

$6 x + 30 + \frac{2}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x - 5) (x + 5)$ .

$6 x + 30 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$6 x + 30 + \frac{2}{x + 5} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$6 x + 30 + 2 (x - 5) = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 30 + 2 x + 2 \cdot - 5 = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $2$ на $- 5$ .

$6 x + 30 + 2 x - 10 = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

$8 x + 30 - 10 = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $10$ из $30$ .

$8 x + 20 = \frac{84}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 5) (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 5) (x + 5)$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$8 x + 20 = \frac{84}{(x - 5) (x + 5) (1)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$8 x + 20 = \frac{84}{(x - 5) (x + 5) \cdot 1} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$8 x + 20 = 84$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$8 x = 84 - 20$

Этап 4.1.2

Вычтем $20$ из $84$ .

$8 x = 64$

Этап 4.2

Разделим каждый член $8 x = 64$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $8 x = 64$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{64}{8}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{64}{8}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{64}{8}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $64$ на $8$ .

$x = 8$