Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sin (t)}{1 + \sin (t)} - \frac{\sin (t)}{1 - \sin (t)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{\sin (t)}{1 + \sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} - \frac{\sin (t)}{1 - \sin (t)}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{\sin (t)}{1 - \sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)} - \frac{\sin (t)}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sin (t)}{1 + \sin (t)}$ на $\frac{1 - \sin (t)}{1 - \sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))} - \frac{\sin (t)}{1 - \sin (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\sin (t)}{1 - \sin (t)}$ на $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))} - \frac{\sin (t) (1 + \sin (t))}{(1 - \sin (t)) (1 + \sin (t))}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (t)) (1 + \sin (t))$ .

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))} - \frac{\sin (t) (1 + \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 + \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $\sin (t) (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 + \sin (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $- \sin (t) (1 + \sin (t))$ .

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t)) + \sin (t) (- (1 + \sin (t)))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $\sin (t) (1 - \sin (t)) + \sin (t) (- (1 + \sin (t)))$ .

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t) - (1 + \sin (t)))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t) - 1 \cdot 1 - \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin (t) (1 - \sin (t) - 1 - \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\sin (t) (0 - \sin (t) - \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.5

Вычтем $\sin (t)$ из $0$ .

$\frac{\sin (t) (- \sin (t) - \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.6

Вычтем $\sin (t)$ из $- \sin (t)$ .

$\frac{\sin (t) \cdot - 2 \sin (t)}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (t) \sin (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.7.2

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 {\sin (t)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (t)}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \sin^{2} (t)}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$