Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[3]{81}}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $81$ в виде $3^{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[3]{27 (3)}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{27}}{3 \sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3.2

Перенесем $\sqrt[3]{3}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2})}$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2})}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 3.6

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 {(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3^{1}}$

Этап 3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[4]{27} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} \sqrt[3]{3^{2}}}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} \sqrt[3]{9}}{3 \cdot 3}$

Этап 5

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{27} \sqrt[3]{9}}{9}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{27}$ в виде $27^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{27^{\frac{1}{4}} \sqrt[3]{9}}{9}$

Этап 6.1.2

Перепишем $27^{\frac{1}{4}}$ в виде $27^{\frac{3}{12}}$ .

$\frac{27^{\frac{3}{12}} \sqrt[3]{9}}{9}$

Этап 6.1.3

Перепишем $27^{\frac{3}{12}}$ в виде $\sqrt[12]{27^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \sqrt[3]{9}}{9}$

Этап 6.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9}$ в виде $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{9}$

Этап 6.1.5

Перепишем $9^{\frac{1}{3}}$ в виде $9^{\frac{4}{12}}$ .

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \cdot 9^{\frac{4}{12}}}{9}$

Этап 6.1.6

Перепишем $9^{\frac{4}{12}}$ в виде $\sqrt[12]{9^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[12]{27^{3}} \sqrt[12]{9^{4}}}{9}$

Этап 6.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt[12]{27^{3} \cdot 9^{4}}}{9}$

Этап 6.3

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{\sqrt[12]{{(3^{3})}^{3} \cdot 9^{4}}}{9}$

Этап 6.4

Перемножим экспоненты в ${(3^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{3 \cdot 3} \cdot 9^{4}}}{9}$

Этап 6.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot 9^{4}}}{9}$

Этап 6.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot {(3^{2})}^{4}}}{9}$

Этап 6.6

Перемножим экспоненты в ${(3^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot 3^{2 \cdot 4}}}{9}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{9} \cdot 3^{8}}}{9}$

Этап 6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[12]{3^{9 + 8}}}{9}$

Этап 6.8

Добавим $9$ и $8$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{17}}}{9}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $3$ в степень $17$ .

$\frac{\sqrt[12]{129140163}}{9}$

Этап 7.2

Перепишем $129140163$ в виде $3^{12} \cdot 243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $531441$ из $129140163$ .

$\frac{\sqrt[12]{531441 (243)}}{9}$

Этап 7.2.2

Перепишем $531441$ в виде $3^{12}$ .

$\frac{\sqrt[12]{3^{12} \cdot 243}}{9}$

Этап 7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt[12]{243}}{9}$

Этап 8

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt[12]{243}$ .

$\frac{3 (\sqrt[12]{243})}{9}$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \sqrt[12]{243}}{3 \cdot 3}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt[12]{243}}{3 \cdot 3}$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[12]{243}}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[12]{243}}{3}$

Десятичная форма:

$0.52684063 \dots$