Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (u) (1 + \cos (u))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ на $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ на $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(1 + \cos (u)) \sin (u)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \cos (u)) \sin (u)$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + \cos (u)) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\cos (u)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\cos (u)$ на $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $\cos (u) \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2.1.4.2

Возведем $\cos (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + {\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.2.2

Добавим $\cos (u)$ и $\cos (u)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.3

Умножим $\sin (u) \sin (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.3.2

Возведем $\sin (u)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.4

Перепишем $1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Переставляем члены.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.4.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 + 2 \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 5.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 6

Сократим общий множитель $1 + \cos (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sin (u)}$

Этап 7

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\sin (u)}$ в $\csc (u)$ .

$\frac{2}{1} \csc (u)$

Этап 9

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \csc (u)$