Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4}{2 - 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{4}{2 - 3 i}$ на комплексно сопряженное $2 - 3 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{4}{2 - 3 i} \cdot \frac{2 + 3 i}{2 + 3 i} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{4 (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 + 4 (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{8 + 12 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Развернем $(2 - 3 i) (2 + 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 + 12 i}{2 (2 + 3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i (2 + 3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 + 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 3 i (3 i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i i} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i)} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{1 + 1}} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.9

Вычтем $6 i$ из $6 i$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 0 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.2.10

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 i^{2}} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 - 9 \cdot - 1} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{8 + 12 i}{4 + 9} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.2.3.4

Добавим $4$ и $9$ .

$\frac{8 + 12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.3

Разобьем дробь $\frac{8 + 12 i}{13}$ на две дроби.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + i}$

Этап 1.4

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2}{1 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $1 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Этап 1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Этап 1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 + 2 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Этап 1.5.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Этап 1.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Развернем $(1 + 1 i) (1 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Этап 1.5.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Этап 1.5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Этап 1.5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Этап 1.5.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Этап 1.5.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Этап 1.5.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 1.5.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Этап 1.5.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Этап 1.5.3.2.9

Добавим $- 1 i$ и $1 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Этап 1.5.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - i^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 - - 1}$

Этап 1.5.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{1 + 1}$

Этап 1.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 - 2 i}{2}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $2 - 2 i$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 - 2 i}{2}$

Этап 1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 i$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (- i)}{2}$

Этап 1.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2}$

Этап 1.6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 (1)}$

Этап 1.6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{2 (1 - i)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{1 - i}{1}$

Этап 1.6.4.4

Разделим $1 - i$ на $1$ .

$\frac{8}{13} + \frac{12 i}{13} + 1 - i$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{8}{13} + \frac{13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 + 13}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Этап 2.3

Добавим $8$ и $13$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i$

Этап 3

Чтобы записать $- i$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} - i \cdot \frac{13}{13}$

Этап 4

Объединим $- i$ и $\frac{13}{13}$ .

$\frac{21}{13} + \frac{12 i}{13} + \frac{- i \cdot 13}{13}$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21}{13} + \frac{- i}{13}$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{21}{13} - \frac{i}{13}$