Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x}{x^{2} - 4 x - 5} - \frac{3}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 x}{(x - 5) (x + 1)} - \frac{3}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 x}{(x - 5) (x + 1)} - \frac{3}{(x - 3) (x + 1)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2 x}{(x - 5) (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x}{(x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{3}{(x - 3) (x + 1)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{3}{(x - 3) (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x}{(x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{3}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 5) (x + 1) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2 x}{(x - 5) (x + 1)}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 x (x - 3)}{(x - 5) (x + 1) (x - 3)} - \frac{3}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3}{(x - 3) (x + 1)}$ на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x (x - 3)}{(x - 5) (x + 1) (x - 3)} - \frac{3 (x - 5)}{(x - 3) (x + 1) (x - 5)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x - 5) (x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{2 x (x - 3)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)} - \frac{3 (x - 5)}{(x - 3) (x + 1) (x - 5)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 1) (x - 5)$ .

$\frac{2 x (x - 3)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)} - \frac{3 (x - 5)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x (x - 3) - 3 (x - 5)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (x - 5)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (x - 5)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (x - 5)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 6.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 3 (x - 5)}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 3 x - 3 \cdot - 5}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 6.5

Умножим $- 3$ на $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 3 x + 15}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$

Этап 6.6

Вычтем $3 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 9 x + 15}{(x + 1) (x - 3) (x - 5)}$