Основы мат. анализа Примеры

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках ${\displaystyle (1,\sqrt{{\left(\frac{4}{x}\right)}^2-1^2})}$, ${\displaystyle (1,0)}$ и начале координат. Тогда ${\displaystyle \mathrm{arcsec}\left(\frac{4}{x}\right)}$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку ${\displaystyle (1,\sqrt{{\left(\frac{4}{x}\right)}^2-1^2})}$. Следовательно, ${\displaystyle \sin \left(\mathrm{arcsec}\left(\frac{4}{x}\right)\right)}$ равно ${\displaystyle \frac{\sqrt{{\left(\frac{4}{x}\right)}^2-1}}{\frac{4}{x}}}$.

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Перепишем ${\displaystyle 1}$ в виде ${\displaystyle 1^2}$.

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, ${\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$, где ${\displaystyle a=\frac{4}{x}}$ и ${\displaystyle b=1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{x}{x}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{x}{x}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle \frac{4+x}{x}}$ на ${\displaystyle \frac{4-x}{x}}$.

Умножим ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle x}$.

Вынесем члены из-под знака корня.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ и ${\displaystyle \sqrt{(4+x)(4-x)}}$.