Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{1}{2} x))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}, \frac{1}{2} x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{1}{2} x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}, \frac{1}{2} x)$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{1}{2} x))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{1}{2} x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{1}{2} x) (1 - (\frac{1}{2} x))}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - (\frac{1}{2} x))}$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Этап 4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}$

Этап 6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

Этап 8

Умножим $\frac{2 + x}{2}$ на $\frac{2 - x}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

Этап 9

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

Этап 10

Перепишем $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(2 + x) (2 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

Этап 10.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 10.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

Этап 11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$