Основы мат. анализа Примеры

$2 \sin (2 x) \sin (x - 3) \cos (x) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$\sin (x - 3) = 0$

$\cos (x) = 0$

Этап 2

Приравняем $\sin (2 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\sin (2 x)$ к $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Решим $\sin (2 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 2.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 2.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 2.2.5.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 2.2.5.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 2.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.2.6

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 2.2.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.7

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\sin (x - 3)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (x - 3)$ к $0$ .

$\sin (x - 3) = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (x - 3) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - 3 = \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.2.4

$x - 3 = π - 0$

Этап 3.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x - 3 = π$

Этап 3.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = π + 3$

Этап 3.2.6

Найдем период $\sin (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.7

Период функции $\sin (x - 3)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (2 x) \sin (x - 3) \cos (x) = 0$ верно.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $π n$ и $\frac{π}{2} + π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $\frac{π n}{2}$ и $\frac{π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.3

Объединим $\frac{π n}{2}$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, 3 + 2 π n, π + 3 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.4

Объединим $3 + 2 π n$ и $π + 3 + 2 π n$ в $3 + π n$ .

$x = \frac{π n}{2}, 3 + π n$ , для любого целого $n$