Основы мат. анализа Примеры

$6 + 3 | 10 - 4 x | < 12$

Этап 1

Запишем $6 + 3 | 10 - 4 x | < 12$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$10 - 4 x \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- 4 x \geq - 10$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 4 x \geq - 10$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x \geq - 10$ на $- 4$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 10}{- 4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 10}{- 4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 10}{- 4}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10$ .

$x \leq \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$x \leq \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x \leq \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Этап 1.2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x \leq \frac{5}{2}$

Этап 1.3

В части, где $10 - 4 x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$6 + 3 (10 - 4 x) < 12$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$10 - 4 x < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- 4 x < - 10$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $- 4 x < - 10$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $- 4 x < - 10$ на $- 4$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 10}{- 4}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 10}{- 4}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 10}{- 4}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10$ .

$x > \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$x > \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x > \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x > \frac{5}{2}$

Этап 1.6

В части, где $10 - 4 x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$6 + 3 (- (10 - 4 x)) < 12$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 6 + 3 (10 - 4 x) < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- (10 - 4 x)) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $6 + 3 (10 - 4 x) < 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 6 + 3 \cdot 10 + 3 (- 4 x) < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- (10 - 4 x)) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.1.2

Умножим $3$ на $10$ .

${\begin{cases} 6 + 30 + 3 (- 4 x) < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- (10 - 4 x)) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.1.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

${\begin{cases} 6 + 30 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- (10 - 4 x)) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Добавим $6$ и $30$ .

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- (10 - 4 x)) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $6 + 3 (- (10 - 4 x)) < 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- 1 \cdot 10 - (- 4 x)) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- 10 - (- 4 x)) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 (- 10 + 4 x) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 + 3 \cdot - 10 + 3 (4 x) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.1.5

Умножим $3$ на $- 10$ .

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 - 30 + 3 (4 x) < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ 6 - 30 + 12 x < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 1.9.2

Вычтем $30$ из $6$ .

${\begin{cases} 36 - 12 x < 12 & x \leq \frac{5}{2} \\ - 24 + 12 x < 12 & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Этап 2

Решим $36 - 12 x < 12$ , когда $x \leq \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $36 - 12 x < 12$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $36$ из обеих частей неравенства.

$- 12 x < 12 - 36$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $36$ из $12$ .

$- 12 x < - 24$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $- 12 x < - 24$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $- 12 x < - 24$ на $- 12$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 12 x}{- 12} > \frac{- 24}{- 12}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 x}{- 12} > \frac{- 24}{- 12}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 24}{- 12}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Разделим $- 24$ на $- 12$ .

$x > 2$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > 2$ и $x \leq \frac{5}{2}$ .

$2 < x \leq \frac{5}{2}$

Этап 3

Решим $- 24 + 12 x < 12$ , когда $x > \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 24 + 12 x < 12$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Добавим $24$ к обеим частям неравенства.

$12 x < 12 + 24$

Этап 3.1.1.2

Добавим $12$ и $24$ .

$12 x < 36$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $12 x < 36$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $12 x < 36$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} < \frac{36}{12}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} < \frac{36}{12}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{36}{12}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $36$ на $12$ .

$x < 3$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < 3$ и $x > \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} < x < 3$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$2 < x < 3$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 < x < 3$

Интервальное представление:

$(2, 3)$

Этап 6