Основы мат. анализа Примеры

$\ln (2 - 5 x) > 2$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\ln (2 - 5 x) = 2$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (2 - 5 x)} = e^{2}$

Этап 2.2

Перепишем $\ln (2 - 5 x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 - 5 x$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 - 5 x = e^{2}$ .

$2 - 5 x = e^{2}$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = e^{2} - 2$

Этап 2.3.3

Разделим каждый член $- 5 x = e^{2} - 2$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $- 5 x = e^{2} - 2$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{e^{2}}{- 5} + \frac{- 2}{- 5}$

Этап 2.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{e^{2}}{- 5} + \frac{- 2}{- 5}$

Этап 2.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{e^{2}}{- 5} + \frac{- 2}{- 5}$

Этап 2.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{e^{2}}{5} + \frac{- 2}{- 5}$

Этап 2.3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5}$

Этап 3

Найдем область определения $\ln (2 - 5 x) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (2 - 5 x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 - 5 x > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- 5 x > - 2$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- 5 x > - 2$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x > - 2$ на $- 5$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 5 x}{- 5} < \frac{- 2}{- 5}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} < \frac{- 2}{- 5}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 2}{- 5}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{2}{5}$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{2}{5})$

Этап 4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{e^{2}}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 6