Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sqrt{x}}{8 x^{2} + 7 x - 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x}}{8 x^{2} + 7 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$8 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$8 x^{2} + 7 (x) - 1 = 0$

Этап 3.1.1.2

Запишем $7$ как $- 1$ плюс $8$

$8 x^{2} + (- 1 + 8) x - 1 = 0$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{2} - 1 x + 8 x - 1 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(8 x^{2} - 1 x) + 8 x - 1 = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (8 x - 1) + 1 (8 x - 1) = 0$

Этап 3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 x - 1$ .

$(8 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $8 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $8 x - 1$ к $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Этап 3.3.2

Решим $8 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 1$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $8 x = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $8 x = 1$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Этап 3.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{8}, - 1$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \frac{1}{8}) \cup (\frac{1}{8}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0, x \neq \frac{1}{8}}$

Этап 5