Основы мат. анализа Примеры

$\frac{11 x - 10}{(x - 2) (x + 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{(11 x - 10) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(11 x - 10) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(11 x - 10) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(11 x - 10) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Разделим $11 x - 10$ на $1$ .

$11 x - 10 = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$11 x - 10 = \frac{A (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 1)$ на $1$ .

$11 x - 10 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$11 x - 10 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$11 x - 10 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$11 x - 10 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x - 2)$ на $1$ .

$11 x - 10 = A x + A + (B) (x - 2)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$11 x - 10 = A x + A + B x + B \cdot - 2$

Этап 1.6.6

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$11 x - 10 = A x + A + B x - 2 B$

Этап 1.7

Перенесем $A$ .

$11 x - 10 = A x + B x + A - 2 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$11 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 10 = A - 2 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$11 = A + B$

$- 10 = A - 2 B$

$11 = A + B$

$- 10 = A - 2 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $11 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 11$ .

$A + B = 11$

$- 10 = A - 2 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 11 - B$

$- 10 = A - 2 B$

$A = 11 - B$

$- 10 = A - 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $11 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 10 = A - 2 B$ на $11 - B$ .

$- 10 = (11 - B) - 2 B$

$A = 11 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 B$ из $- B$ .

$- 10 = 11 - 3 B$

$A = 11 - B$

$- 10 = 11 - 3 B$

$A = 11 - B$

$- 10 = 11 - 3 B$

$A = 11 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 10 = 11 - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $11 - 3 B = - 10$ .

$11 - 3 B = - 10$

$A = 11 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$- 3 B = - 10 - 11$

$A = 11 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $11$ из $- 10$ .

$- 3 B = - 21$

$A = 11 - B$

$- 3 B = - 21$

$A = 11 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 3 B = - 21$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 3 B = - 21$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

$B = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

$B = \frac{- 21}{- 3}$

$A = 11 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $- 21$ на $- 3$ .

$B = 7$

$A = 11 - B$

$B = 7$

$A = 11 - B$

$B = 7$

$A = 11 - B$

$B = 7$

$A = 11 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $7$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 11 - B$ на $7$ .

$A = 11 - (7)$

$B = 7$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $11 - (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$A = 11 - 7$

$B = 7$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $7$ из $11$ .

$A = 4$

$B = 7$

$A = 4$

$B = 7$

$A = 4$

$B = 7$

$A = 4$

$B = 7$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 4, B = 7$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{4}{x - 2} + \frac{7}{x + 1}$