Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 11 x - 18}{x (x^{2} + 3 x + 3)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.4.2

Разделим $x^{2} - 11 x - 18$ на $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A (x^{2} + 3 x + 3)$ на $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5.3.2

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5.4.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x)$

Этап 1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + C x$

Этап 1.5.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Этап 1.5.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + C x$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Этап 1.6.2

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Этап 1.6.3

Перенесем $3 A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + C x + 3 A$

Этап 1.6.4

Перенесем $3 x A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + C x + 3 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 11 = 3 A + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 18 = 3 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 18 = 3 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $3 A = - 18$ .

$3 A = - 18$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $3 A = - 18$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $3 A = - 18$ на $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 18$ на $3$ .

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $- 6$ .

$1 = (- 6) + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $- 11 = 3 A + C$ на $- 6$ .

$- 11 = 3 (- 6) + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $3$ на $- 6$ .

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Этап 3.3

Решим относительно $C$ в $- 11 = - 18 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 18 + C = - 11$ .

$- 18 + C = - 11$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$C = - 11 + 18$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 11$ и $18$ .

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $C$ на $7$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 6 + B = 1$ .

$- 6 + B = 1$

$C = 7$

$A = - 6$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$B = 1 + 6$

$C = 7$

$A = - 6$

Этап 3.4.2.2

Добавим $1$ и $6$ .

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = 7, C = 7, A = - 6$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 5

Умножим $7$ на $x$ .

$\frac{- 6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$