Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x^{3} - 4 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 4)}$

Этап 1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Этап 1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.7.2

Разделим $x^{2} + 12 x + 12$ на $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $A ((x + 2) (x - 2))$ на $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A ((x + 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.2

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.3

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.3.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.3.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} - 4) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.6

Перенесем $- 4$ влево от $A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.7

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + \frac{B (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.7.2

Разделим $(B) (x (x - 2))$ на $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + (B) (x (x - 2)) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.10

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.11

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.13

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.13.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.8.13.2

Разделим $(C) (x (x + 2))$ на $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x (x + 2))$

Этап 1.8.14

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 2)$

Этап 1.8.15

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 2)$

Этап 1.8.16

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + 2 \cdot x)$

Этап 1.8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + C (2 x)$

Этап 1.8.18

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + 2 C x$

Этап 1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перенесем $B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x$

Этап 1.9.2

Перенесем $- 4 A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x - 4 A$

Этап 1.9.3

Перенесем $- 2 x B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B + 2 C x - 4 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$12 = - 4 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $12 = - 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 A = 12$ .

$- 4 A = 12$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 4 A = 12$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 A = 12$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $12$ на $- 4$ .

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B + C$ на $- 3$ .

$1 = (- 3) + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 3 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 + B + C = 1$ .

$- 3 + B + C = 1$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$B + C = 1 + 3$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 + 3 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.3.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $4 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $12 = - 2 B + 2 C$ на $4 - C$ .

$12 = - 2 (4 - C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 2 (4 - C) + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 = - 2 \cdot 4 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$12 = - 8 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $2 C$ и $2 C$ .

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.5

Решим относительно $C$ в $12 = - 8 + 4 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 8 + 4 C = 12$ .

$- 8 + 4 C = 12$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$4 C = 12 + 8$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.5.2.2

Добавим $12$ и $8$ .

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $4 C = 20$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $4 C = 20$ на $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $20$ на $4$ .

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $C$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 4 - C$ на $5$ .

$B = 4 - (5)$

$C = 5$

$A = - 3$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $4 - (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$B = 4 - 5$

$C = 5$

$A = - 3$

Этап 3.6.2.1.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = - 1, C = 5, A = - 3$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{- 1}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$