Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{4 x^{2} - 9}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x)}^{2} - 9}$

Этап 1.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}$

Этап 1.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$\frac{1}{(2 x + 3) (2 x - 3)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

Этап 1.3

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{2 x - 3}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{1 (2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (2 x - 3)$ на $1$ .

$1 = (A) (2 x - 3) + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.7.4

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$1 = 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 2 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Этап 1.7.5.2

Разделим $(B) (2 x + 3)$ на $1$ .

$1 = 2 A x - 3 A + (B) (2 x + 3)$

Этап 1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = 2 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 3$

Этап 1.7.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 3$

Этап 1.7.8

Перенесем $3$ влево от $B$ .

$1 = 2 A x - 3 A + 2 B x + 3 B$

Этап 1.8

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $A$ .

$1 = 2 x A - 3 A + 2 B x + 3 B$

Этап 1.8.2

Перенесем $B$ .

$1 = 2 x A - 3 A + 2 x B + 3 B$

Этап 1.8.3

Перенесем $- 3 A$ .

$1 = 2 x A + 2 x B - 3 A + 3 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 A + 2 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $0 = 2 A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 A + 2 B = 0$ .

$2 A + 2 B = 0$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$2 A = - 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3

Разделим каждый член $2 A = - 2 B$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим каждый член $2 A = - 2 B$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 B$ .

$A = \frac{2 (- B)}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A = \frac{2 (- B)}{2 (1)}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$A = \frac{2 (- B)}{2 \cdot 1}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$A = \frac{- B}{1}$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.1.3.3.1.2.4

Разделим $- B$ на $1$ .

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 3 A + 3 B$ на $- B$ .

$1 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 3 (- B) + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$1 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $3 B$ и $3 B$ .

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $6 B = 1$ .

$6 B = 1$

$A = - B$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $6 B = 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $6 B = 1$ на $6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{1}{6}$

$A = - B$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 B}{6} = \frac{1}{6}$

$A = - B$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{6}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{6}$ .

$A = - (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{6}, B = \frac{1}{6}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{2 x - 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{2 x + 3} + \frac{\frac{1}{6}}{2 x - 3}$