Основы мат. анализа Примеры

$\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ большим или равным $- 1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \geq - 1$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части на $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = - (1 - x^{2})$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x = - (1 - x^{2})$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $- (1 - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x = - 1 - - x^{2}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x = - 1 + 1 x^{2}$

Этап 2.2.2.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$2 x = - 1 + x^{2}$

Этап 2.2.2.1.4

Изменим порядок $- 1$ и $x^{2}$ .

$2 x = x^{2} - 1$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x - x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x - x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.4

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 2.3.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 2.3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.6.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.6.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.6.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 2.3.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 2.3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Этап 2.3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.7.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.7.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.7.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 2.3.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 2.3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Этап 2.3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 2.4

Найдем область определения $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 2.4.2.2

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 2.4.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4.2.3

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 2.4.2.3.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 2.4.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 2.4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + x) (1 - x) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 2.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1$

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 4)}{1 - {(- 4)}^{2}} \geq - 1$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $0.5\overline{3}$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.71$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $- 0.71$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 0.71)}{1 - {(- 0.71)}^{2}} \geq - 1$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $- 2.86348054$ меньше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.6.3

Проверим значение на интервале $1 - \sqrt{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Выберем значение на интервале $1 - \sqrt{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.6.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \geq - 1$

Этап 2.6.3.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.6.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (2)}{1 - {(2)}^{2}} \geq - 1$

Этап 2.6.4.3

Левая часть $- 1.\overline{3}$ меньше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.6.5

Проверим значение на интервале $x > 1 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Выберем значение на интервале $x > 1 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.6.5.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (5)}{1 - {(5)}^{2}} \geq - 1$

Этап 2.6.5.3

Левая часть $- 0.41\overline{6}$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Ложь

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Истина

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{2}$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1 - \sqrt{2}$ Ложь

$1 - \sqrt{2} < x < 1$ Истина

$1 < x < 1 + \sqrt{2}$ Ложь

$x > 1 + \sqrt{2}$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $1 - \sqrt{2} \leq x < 1$ или $x \geq 1 + \sqrt{2}$

Этап 3

Зададим аргумент в $\arccos (\frac{2 x}{1 - x^{2}})$ меньшим или равным $1$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} \leq 1$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части на $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{1 - x^{2}} (1 - x^{2}) = 1 (1 - x^{2})$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x = 1 (1 - x^{2})$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $1 (1 - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $1 - x^{2}$ на $1$ .

$2 x = 1 - x^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Изменим порядок $1$ и $- x^{2}$ .

$2 x = - x^{2} + 1$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x + x^{2} = 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x + x^{2} - 1 = 0$

Этап 4.3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 4.3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.6.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.6.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 4.3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Этап 4.3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.7.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.7.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 4.3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Этап 4.3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Этап 4.4

Найдем область определения $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{(1 + x) (1 - x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Этап 4.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 4.4.2.2

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 4.4.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.4.2.3

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 4.4.2.3.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 4.4.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.4.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.4.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.4.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 4.4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + x) (1 - x) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 4.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 4.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1 - \sqrt{2}$

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$

$x > 1$

Этап 4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1 - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 4.6.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 5)}{1 - {(- 5)}^{2}} \leq 1$

Этап 4.6.1.3

Левая часть $0.41\overline{6}$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.6.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 2)}{1 - {(- 2)}^{2}} \leq 1$

Этап 4.6.2.3

Левая часть $1.\overline{3}$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.6.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.6.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0)}{1 - {(0)}^{2}} \leq 1$

Этап 4.6.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.6.4

Проверим значение на интервале $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Выберем значение на интервале $- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.71$

Этап 4.6.4.2

Заменим $x$ на $0.71$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (0.71)}{1 - {(0.71)}^{2}} \leq 1$

Этап 4.6.4.3

Левая часть $2.86348054$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.6.5

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.6.5.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (4)}{1 - {(4)}^{2}} \leq 1$

Этап 4.6.5.3

Левая часть $- 0.5\overline{3}$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.6.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Истина

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Истина

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 1 - \sqrt{2}$ Истина

$- 1 - \sqrt{2} < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < - 1 + \sqrt{2}$ Истина

$- 1 + \sqrt{2} < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 4.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1 - \sqrt{2}$ или $- 1 < x \leq - 1 + \sqrt{2}$ или $x > 1$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{1 - x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - x^{2} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 6.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1 - \sqrt{2}] \cup [1 - \sqrt{2}, - 1 + \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2} \leq x \leq - 1 + \sqrt{2}, x \geq 1 + \sqrt{2}}$

Этап 8