Основы мат. анализа Примеры

${(\sqrt{2 x} + \frac{1}{x})}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${\sqrt{2 x}}^{3} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{3}$ в виде $\sqrt{{(2 x)}^{3}}$ .

$\sqrt{{(2 x)}^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\sqrt{2^{3} x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\sqrt{8 x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.4

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{2} \cdot (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2) x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2 x^{3}} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.4.3

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2 (x^{2} x)} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.4.4

Перенесем $2$ .

$\sqrt{2^{2} x^{2} \cdot 2 x} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.4.5

Перепишем $2^{2} x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot 2 x} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.4.6

Добавим круглые скобки.

$\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot (2 x)} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {\sqrt{2 x}}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.6

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{\frac{2}{2}} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{\frac{2}{2}} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x \sqrt{2 x} + 3 {(2 x)}^{1} \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.6.5

Упростим.

$2 x \sqrt{2 x} + 3 (2 x) \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $x$ из $3 (2 x)$ .

$2 x \sqrt{2 x} + x (3 \cdot (2)) \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель.

$2 x \sqrt{2 x} + x (3 \cdot (2)) \frac{1}{x} + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.7.3

Перепишем это выражение.

$2 x \sqrt{2 x} + 3 \cdot (2) + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.8

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + 3 \sqrt{2 x} {(\frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + 3 \sqrt{2 x} \frac{1^{2}}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.10

Единица в любой степени равна единице.

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + 3 \sqrt{2 x} \frac{1}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.11

Умножим $3 \sqrt{2 x} \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $3$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3}{x^{2}} \sqrt{2 x} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.11.2

Объединим $\frac{3}{x^{2}}$ и $\sqrt{2 x}$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3 \sqrt{2 x}}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Этап 2.12

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3 \sqrt{2 x}}{x^{2}} + \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Этап 2.13

Единица в любой степени равна единице.

$2 x \sqrt{2 x} + 6 + \frac{3 \sqrt{2 x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$