Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{7}{81 x^{2} - 16} + x}{9 - \frac{5}{9 x + 4}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(81 x^{2} - 16) (9 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{7}{81 x^{2} - 16} + x}{9 - \frac{5}{9 x + 4}}$ на $\frac{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4)}$ .

$\frac{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4)} \cdot \frac{\frac{7}{81 x^{2} - 16} + x}{9 - \frac{5}{9 x + 4}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) (\frac{7}{81 x^{2} - 16} + x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) (9 - \frac{5}{9 x + 4})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \frac{7}{81 x^{2} - 16} + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) (- \frac{5}{9 x + 4})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $81 x^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \frac{7}{81 x^{2} - 16} + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) (- \frac{5}{9 x + 4})}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(9 x + 4) \cdot 7 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) (- \frac{5}{9 x + 4})}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $9 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{9 x + 4}$ в числитель.

$\frac{(9 x + 4) \cdot 7 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \frac{- 5}{9 x + 4}}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $9 x + 4$ из $(81 x^{2} - 16) (9 x + 4)$ .

$\frac{(9 x + 4) \cdot 7 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (9 x + 4) (81 x^{2} - 16) \frac{- 5}{9 x + 4}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(9 x + 4) \cdot 7 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (9 x + 4) (81 x^{2} - 16) \frac{- 5}{9 x + 4}}$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(9 x + 4) \cdot 7 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $9 x + 4$ из $(9 x + 4) \cdot 7 + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $9 x + 4$ из $(9 x + 4) \cdot 7$ .

$\frac{(9 x + 4) (7) + (81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $9 x + 4$ из $(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) x$ .

$\frac{(9 x + 4) (7) + (9 x + 4) ((81 x^{2} - 16) x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $9 x + 4$ из $(9 x + 4) (7) + (9 x + 4) ((81 x^{2} - 16) x)$ .

$\frac{(9 x + 4) (7 + (81 x^{2} - 16) x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(9 x + 4) (7 + 81 x^{2} x - 16 x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(9 x + 4) (7 + 81 (x \cdot x^{2}) - 16 x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(9 x + 4) (7 + 81 (x^{1} x^{2}) - 16 x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(9 x + 4) (7 + 81 x^{1 + 2} - 16 x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(9 x + 4) (7 + 81 x^{3} - 16 x)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $81 x^{2} - 16$ из $(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9 + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $81 x^{2} - 16$ из $(81 x^{2} - 16) (9 x + 4) \cdot 9$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(81 x^{2} - 16) ((9 x + 4) \cdot 9) + (81 x^{2} - 16) \cdot - 5}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $81 x^{2} - 16$ из $(81 x^{2} - 16) \cdot - 5$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(81 x^{2} - 16) ((9 x + 4) \cdot 9) + (81 x^{2} - 16) (- 5)}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $81 x^{2} - 16$ из $(81 x^{2} - 16) ((9 x + 4) \cdot 9) + (81 x^{2} - 16) (- 5)$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(81 x^{2} - 16) ((9 x + 4) \cdot 9 - 5)}$

Этап 5.2

Перепишем $81 x^{2}$ в виде ${(9 x)}^{2}$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{({(9 x)}^{2} - 16) ((9 x + 4) \cdot 9 - 5)}$

Этап 5.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{({(9 x)}^{2} - 4^{2}) ((9 x + 4) \cdot 9 - 5)}$

Этап 5.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 9 x$ и $b = 4$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(9 x + 4) (9 x - 4) ((9 x + 4) \cdot 9 - 5)}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(9 x + 4) (9 x - 4) (9 x \cdot 9 + 4 \cdot 9 - 5)}$

Этап 5.6

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(9 x + 4) (9 x - 4) (81 x + 4 \cdot 9 - 5)}$

Этап 5.7

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(9 x + 4) (9 x - 4) (81 x + 36 - 5)}$

Этап 5.8

Вычтем $5$ из $36$ .

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(9 x + 4) (9 x - 4) (81 x + 31)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $9 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(9 x + 4) (81 x^{3} - 16 x + 7)}{(9 x + 4) (9 x - 4) (81 x + 31)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{81 x^{3} - 16 x + 7}{(9 x - 4) (81 x + 31)}$