Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{2 x^{2} - 7 x - 4}{x^{2} - 9}}{\frac{2 x^{2} + 9 x + 4}{x^{2} + x - 12}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 x^{2} - 7 x - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 (x) - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 7$ как $1$ плюс $- 8$

$\frac{2 x^{2} + (1 - 8) x - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 8 x - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} + x) - 8 x - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{2 x^{2} + 9 x + 4}$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{2 x^{2} + 9 (x) + 4}$

Этап 5.1.2

Запишем $9$ как $1$ плюс $8$

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{2 x^{2} + (1 + 8) x + 4}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{2 x^{2} + 1 x + 8 x + 4}$

Этап 5.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{2 x^{2} + x + 8 x + 4}$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{(2 x^{2} + x) + 8 x + 4}$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{x (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)}$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{(2 x + 1) (x + 4)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 1) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{(2 x + 1) (x + 4)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{x - 4}{(x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 4}{(x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{x + 3} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}$

Этап 8

Умножим $\frac{x - 4}{x + 3}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{x + 3}$