Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{a + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1}{a + h} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a}}{h}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{a}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + h}{a + h}$ .

$\frac{\frac{1}{a + h} \cdot \frac{a}{a} - \frac{1}{a} \cdot \frac{a + h}{a + h}}{h}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + h) a$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{a + h}$ на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{a}{(a + h) a} - \frac{1}{a} \cdot \frac{a + h}{a + h}}{h}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{a}$ на $\frac{a + h}{a + h}$ .

$\frac{\frac{a}{(a + h) a} - \frac{a + h}{a (a + h)}}{h}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(a + h) a$ .

$\frac{\frac{a}{a (a + h)} - \frac{a + h}{a (a + h)}}{h}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{a - (a + h)}{a (a + h)}}{h}$

Этап 1.5

Перепишем $\frac{a - (a + h)}{a (a + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{a - a - h}{a (a + h)}}{h}$

Этап 1.5.2

Вычтем $a$ из $a$ .

$\frac{\frac{0 - h}{a (a + h)}}{h}$

Этап 1.5.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{- h}{a (a + h)}}{h}$

Этап 1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{h}{a (a + h)}}{h}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{h}{a (a + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{a (a + h)}$ в числитель.

$\frac{- h}{a (a + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{a (a + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 1}{a (a + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{a (a + h)}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{a (a + h)}$