Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4}{2 + i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{4}{2 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $2 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{4}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{4 (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 + 4 (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 - 4 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(2 + 1 i) (2 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 - 4 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 - 4 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 - 4 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Добавим $- 2 i$ и $2 i$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 - - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{8 - 4 i}{4 + 1}$

Этап 2.3.4

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{8 - 4 i}{5}$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{8 - 4 i}{5}$ на две дроби.

$\frac{8}{5} + \frac{- 4 i}{5}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8}{5} - \frac{4 i}{5}$