Основы мат. анализа Примеры

${(- 1 + \sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$- 1 + 3 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.5

Применим правило умножения к $\sqrt{3} i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{1} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.7

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 \cdot - 1) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.8

Умножим $- 3 (3 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 \cdot - 3 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.8.2

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Этап 2.1.9

Применим правило умножения к $\sqrt{3} i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {\sqrt{3}}^{3} i^{3}$

Этап 2.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{3}} i^{3}$

Этап 2.1.11

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{27} i^{3}$

Этап 2.1.12

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{9 (3)} i^{3}$

Этап 2.1.12.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}$

Этап 2.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} i^{3}$

Этап 2.1.14

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.1.15

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)$

Этап 2.1.16

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- i)$

Этап 2.1.17

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 - 3 \sqrt{3} i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $- 1$ и $9$ .

$3 \sqrt{3} i + 8 - 3 \sqrt{3} i$

Этап 2.2.2

Вычтем $3 \sqrt{3} i$ из $3 \sqrt{3} i$ .

$0 + 8$

Этап 2.2.3

Добавим $0$ и $8$ .

$8$