Основы мат. анализа Примеры

$\frac{7}{y + 1} > 7$

Этап 1

Вычтем $7$ из обеих частей неравенства.

$\frac{7}{y + 1} - 7 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{7}{y + 1} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} - 7 \cdot \frac{y + 1}{y + 1} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} + \frac{- 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $7$ из $7 - 7 (y + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{7 (1) - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7 (y + 1)$ .

$\frac{7 (1) + 7 (- (y + 1))}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.1.3

Вынесем множитель $7$ из $7 (1) + 7 (- (y + 1))$ .

$\frac{7 (1 - (y + 1))}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (1 - y - 1 \cdot 1)}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{7 (1 - y - 1)}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{7 (- y + 0)}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.5

Добавим $- y$ и $0$ .

$\frac{7 \cdot - 1 y}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (7 y)}{y + 1} > 0$

Этап 2.4.6.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{- 7 y}{y + 1} > 0$

Этап 2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 y}{y + 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- 7 y = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 7 y = 0$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 7 y = 0$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{- 7}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 7$ .

$y = 0$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$y = 0$

$y = - 1$

Этап 7

Объединим решения.

$y = 0, - 1$

Этап 8

Найдем область определения $- \frac{7 y}{y + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{7 y}{y + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$y < - 1$

$- 1 < y < 0$

$y > 0$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $y < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $y < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $y$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{7}{(- 4) + 1} > 7$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 2.\overline{3}$ не больше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 1 < y < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < y < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 0.5$

Этап 10.2.2

Заменим $y$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{7}{(- 0.5) + 1} > 7$

Этап 10.2.3

Левая часть $14$ больше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $y > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $y > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 2$

Этап 10.3.2

Заменим $y$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{7}{(2) + 1} > 7$

Этап 10.3.3

Левая часть $2.\overline{3}$ не больше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$y < - 1$ Ложь

$- 1 < y < 0$ Истина

$y > 0$ Ложь

$y < - 1$ Ложь

$- 1 < y < 0$ Истина

$y > 0$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < y < 0$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 < y < 0$

Интервальное представление:

$(- 1, 0)$

Этап 13