Основы мат. анализа Примеры

$x + \frac{12}{x} < 7$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2

Каждый член в $x + \frac{12}{x} < 7$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x + \frac{12}{x} < 7$ на $x$ .

$x \cdot x + \frac{12}{x} x < 7 x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{12}{x} x < 7 x$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 12 < 7 x$

Этап 3

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $7 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} + 12 - 7 x < 0$

Этап 3.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 12 - 7 x = 0$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} + 12 - 7 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x - 3) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 4, 3$

Этап 4

Найдем область определения $x + \frac{12}{x} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{12}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) + \frac{12}{- 2} < 7$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) + \frac{12}{2} < 7$

Этап 6.2.3

Левая часть $8$ не меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3.5$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $3.5$ в исходном неравенстве.

$(3.5) + \frac{12}{3.5} < 7$

Этап 6.3.3

Левая часть $6.9\overline{285714}$ меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(6) + \frac{12}{6} < 7$

Этап 6.4.3

Левая часть $8$ не меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 0$ Истина

$0 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $3 < x < 4$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < 0 or 3 < x < 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (3, 4)$

Этап 9