Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\frac{9}{8} \cdot π)$

Этап 1

Объединим $\frac{9}{8}$ и $π$ .

$\cos (\frac{9 π}{8})$

Этап 2

Точное значение $\cos (\frac{9 π}{8})$ : $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Представим $\frac{9 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2})$

Этап 2.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$

Этап 2.3

Заменим $\pm$ на $-$ , так как косинус принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$

Этап 2.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 2.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 2.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.92387953 \dots$