Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\frac{π}{3} + \frac{π}{4})$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\cos (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\cos (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\cos (\frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

Этап 5.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\cos (\frac{4 π + 3 \cdot π}{12})$

Этап 5.3

Добавим $4 π$ и $3 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{12})$

Этап 6

Точное значение $\cos (\frac{7 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Этап 6.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Этап 6.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Этап 6.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Этап 6.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 6.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Этап 6.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Этап 6.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Этап 6.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 6.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.25881904 \dots$