Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Этап 1

Начнем с правой части.

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x))}^{2}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ в виде $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 2.3.2

Развернем $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.3.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

Этап 2.3.3.1.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.1.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 2.3.6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем ${(1 + \sin (x))}^{2}$ в виде $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2.4.2

Развернем $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель ${(1 + \sin (x))}^{2}$ и $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ — тождество