Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (a) \sin (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (a) \cos (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 3.4

Перепишем $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ в виде $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\cot (b) - \tan (a)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $\cot (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \tan (a)$

Этап 5.2

Запишем $\tan (a)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Этап 6

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Этап 6.2

Чтобы записать $- \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (b) \cos (a)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ на $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 6.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (b) \cos (a)$ .

$\frac{\cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)} - \frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (b) \cos (a) - \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (a) \sin (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) + \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (a) \cos (b)$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (a) \sin (b)) - (- \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 7.4

Перепишем $- (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ в виде $- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))$ .

$\frac{- 1 (\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b))}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (a + b)}{\cos (a) \sin (b)} = \cot (b) - \tan (a)$ — тождество