Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cot^{2} (t)}{\csc (t)} = \frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cot^{2} (t)}{\csc (t)}$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\csc^{2} (t) - 1}{\csc (t)}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (t)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (t)})}^{2} - 1}{\csc (t)}$

Этап 3.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (t)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (t)})}^{2} - 1}{\frac{1}{\sin (t)}}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (t)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (t)} - 1}{\frac{1}{\sin (t)}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{1^{2}}{{\sin (t)}^{2}} - 1) \sin (t)$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{{\sin (t)}^{2}} - 1) \sin (t)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{{\sin (t)}^{2}} \sin (t) - 1 \sin (t)$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из ${\sin (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{\sin (t) \sin (t)} \sin (t) - 1 \sin (t)$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sin (t) \sin (t)} \sin (t) - 1 \sin (t)$

Этап 4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sin (t)} - 1 \sin (t)$

Этап 4.5

Перепишем $- 1 \sin (t)$ в виде $- \sin (t)$ .

$\frac{1}{\sin (t)} - \sin (t)$

Этап 5

Запишем $- \sin (t)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\sin (t)} + \frac{- \sin (t)}{1}$

Этап 6

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{- \sin (t)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{1}{\sin (t)} + \frac{- \sin (t)}{1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{- \sin (t)}{1}$ на $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{1}{\sin (t)} + \frac{- \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Этап 7

Умножим $- \sin (t) \sin (t)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)}$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cot^{2} (t)}{\csc (t)} = \frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)}$ — тождество