Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}})$

Этап 1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{e^{2}} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Этап 2.2

Возведем $\sqrt[3]{e^{2}}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1 + 2}})$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}})$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}$ в виде $e^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{e^{2}}$ в виде $e^{\frac{2}{3}}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{(e^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Этап 2.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{6}{3}}})$

Этап 2.5.5

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Этап 2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Этап 2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Этап 2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{1}}})$

Этап 2.5.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{2}})$

Этап 3

Перенесем $e^{2}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$

Этап 4

Перепишем $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$ в виде $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$

Этап 5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 2$ из степени.

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \ln (e)$

Этап 6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \cdot 1$

Этап 7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2$

Этап 8

Развернем $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{6}$