Основы мат. анализа Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Этап 1.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

Этап 3.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

Этап 3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

Этап 3.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.2.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.2.4.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

Этап 3.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

Этап 3.2.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

Этап 3.2.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ .

$0$