Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 1}^{8} {0.8}^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{0.8}^{i + 1}}{{0.8}^{i}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель ${0.8}^{i + 1}$ и ${0.8}^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель ${0.8}^{i}$ из ${0.8}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{0.8}^{i} \cdot 0.8}{{0.8}^{i}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{0.8}^{i} \cdot 0.8}{{0.8}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{0.8}^{i} \cdot 0.8}{{0.8}^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{0.8}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $0.8$ на $1$ .

$r = 0.8$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в ${0.8}^{i}$ .

$a = {0.8}^{1}$

Этап 3.2

Найдем экспоненту.

$a = 0.8$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$0.8 \frac{1 - {0.8}^{8}}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $0.8$ в степень $8$ .

$0.8 \frac{1 - 1 \cdot 0.16777216}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $0.16777216$ .

$0.8 \frac{1 - 0.16777216}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Этап 5.1.3

Вычтем $0.16777216$ из $1$ .

$0.8 \frac{0.83222784}{1 - 1 \cdot 0.8}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $0.8$ .

$0.8 \frac{0.83222784}{1 - 0.8}$

Этап 5.2.2

Вычтем $0.8$ из $1$ .

$0.8 (\frac{0.83222784}{0.2})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $0.2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.8$ .

$0.2 (4) \frac{0.83222784}{0.2}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$0.2 \cdot 4 \frac{0.83222784}{0.2}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 0.83222784$

Этап 5.4

Умножим $4$ на $0.83222784$ .

$3.32891136$