Основы мат. анализа Примеры

$lim_{a \to 25} \frac{\sqrt{a} - 5}{a - 25}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{a \to 25} \sqrt{a} - 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $a$ к $25$ .

$\frac{lim_{a \to 25} \sqrt{a} - lim_{a \to 25} 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{a \to 25} a} - lim_{a \to 25} 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $a$ к $25$ .

$\frac{\sqrt{lim_{a \to 25} a} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $a$ , подставив значение $25$ для $a$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $a$ к $25$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - lim_{a \to 25} 25}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $a$ к $25$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - 1 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $a$ , подставив значение $25$ для $a$ .

$\frac{0}{25 - 1 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{a \to 25} \frac{\sqrt{a} - 5}{a - 25} = lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a} - 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a} - 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{a} - 5$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [\sqrt{a}] + \frac{d}{d a} [- 5]$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a}] + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d a} [\sqrt{a}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a}$ в виде $a^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [a^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $a$ , производная $- 5$ относительно $a$ равна $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.5.2.2

Добавим $\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $a - 25$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 25]$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 25]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d a} [- 25]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 25$ является константой относительно $a$ , производная $- 25$ относительно $a$ равна $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем $a^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{a}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 \sqrt{a}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{a}}$ на $1$ .

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 \sqrt{a}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $a$ .

$\frac{1}{2} lim_{a \to 25} \frac{1}{\sqrt{a}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $a$ к $25$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{a \to 25} 1}{lim_{a \to 25} \sqrt{a}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $a$ к $25$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{a \to 25} \sqrt{a}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{a \to 25} a}}$

Этап 3

Найдем предел $a$ , подставив значение $25$ для $a$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 4.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{10}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{10}$

Десятичная форма:

$0.1$