Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ и ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ из ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Этап 2.2.1.2.4

Разделим ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Этап 2.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Этап 2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Этап 2.2.4

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$r = \frac{1}{5}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $n$ в ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = {(\frac{1}{5})}^{0}$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$a = \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{5^{0}}$

Этап 3.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Этап 3.2.5

Разделим $1$ на $1$ .

$a = 1$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ на $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Этап 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Этап 5.2.2

Объединим.

$\frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5 + 5 (- \frac{1^{8}}{5^{8}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1^{8}}{5^{8}}$ в числитель.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5^{8}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5^{8}$ .

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5 + \frac{- 1^{8}}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.5

Возведем $5$ в степень $7$ .

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5 + \frac{- 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.8

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{5 \cdot \frac{78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.9

Объединим $5$ и $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 \cdot 78125 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.11.1

Умножим $5$ на $78125$ .

$\frac{\frac{390625 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.5.11.2

Вычтем $1$ из $390625$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Этап 5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 - 1}$

Этап 5.6.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{4}$

Этап 5.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{390624}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 5.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $4$ из $390624$ .

$\frac{4 (97656)}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 5.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 97656}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 5.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{97656}{78125}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{97656}{78125}$

Десятичная форма:

$1.2499968$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{19531}{78125}$